Архив   Авторы  

Перельман против Пуанкаре
Парадокс

Российский ученый Григорий Перельман претендует на премию в миллион долларов за решение одной из семи математических проблем тысячелетия - гипотезы Пуанкаре

Наследие Гильберта

Известный математик Давид Гильберт 8 августа 1900 года выступил с докладом на 2-м Международном конгрессе математиков в Париже. Доклад на тему "Математические проблемы" начинался словами: "Кто же из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним глазом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?"

Тогда Гильберту удалось сформировать достаточно общий взгляд на настоящее: на круг не решенных к концу ХIХ века математических проблем. 23 проблемы, перечисленные Гильбертом, занимали умы математиков на протяжении всего ХХ века. Перед началом третьего тысячелетия Институт математики Клэя составил свой "список" проблем. В основном в него вошли математические задачи, сформулированные уже в ХХ веке. Корреспонденты "Итогов" связались с "посягнувшим" на одну из этих проблем Григорием Перельманом, который особо не торопится афишировать свою работу, тем более что его лекции в Америке еще продолжаются. В телефонном разговоре он был краток: "Я бы не стал спешить с выводами о том, что я решил эту проблему. Сама гипотеза, кстати, менее важна, чем метод, которым будет решена эта проблема. Если будет найден правильный метод, то он приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии (часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности)".

Опасения Перельмана вполне оправданны. Иллюстрацией может служить история доказательства теоремы Ферма английским математиком Эндрю Уайлзом. В 1994 году он предложил свое решение знаменитой теоремы. Спустя несколько месяцев после того, как Уайлз уже отпраздновал свой успех, выяснилось, что в его расчеты вкралась ошибка. Впоследствии он ее исправил, и сенсация все же состоялась.

Кто есть кто

Анри Пуанкаре - великий математик и физик конца XIX - начала ХХ века, открывший специальную теорию относительности одновременно с Эйнштейном, утверждал, что наука "может постичь не суть вещи в себе, как думают наивные догматики, а лишь отношения между вещами". Проблема Пуанкаре (иногда называемая гипотезой или задачей) была сформулирована им в 1904 году и является центральной проблемой науки о геометрических свойствах тел, которые не меняются, даже если тело вытягивается, скручивается или сжимается.

Доказать гипотезу пытались неоднократно, но все попытки потерпели фиаско. И даже сам Пуанкаре демонстрировал, что ранние версии его гипотезы были ошибочны. Именно эта задача считается на сегодняшний день одной из самых сложных в математике и, как предрекают специалисты, вряд ли разрешимой в обозримом будущем.

Но для такого феномена, как математика, использование шкалы физического времени весьма и весьма условно. Гораздо чаще математики, так сказать, хронометрируют свое время не столько конкретной датой получения решения той или иной проблемы, сколько временем поиска идеи этого решения. А оно порой растягивается на сотни лет. Так что с прогнозированием в математике далеко не все так просто. Достижение Григория Перельмана, естественно, никаким прогнозам не поддавалось.

36-летний сотрудник лаборатории геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Григорий Перельман до последнего времени был известен в кругу специалистов работами по теории пространств. Как перспективный молодой математик он неоднократно получал приглашения от ведущих американских университетов продолжить исследования на их базе. Но уехать из России Перельман не стремится. Как говорит руководитель Математического института им. В. А. Стеклова академик Ильдар Ибрагимов, "Григорий очень талантливый и скромный ученый, который предпочитает работать в Санкт-Петербурге".

Однако весть о его работе пришла все же не с берегов Невы, а из-за океана. Перельман решил использовать свой очередной отпуск для чтения лекций по проблеме Пуанкаре в Массачусетском технологическом институте. Вот что говорят об этих лекциях люди, непосредственно на них присутствовавшие.

Томас Мровка, доктор Массачусетского технологического института:

- Каждый раз, когда кто-то пытается оппонировать Перельману, тот отвечает четко, ясно и кратко, после чего возражений не возникает. Мы относимся к его работе очень серьезно. Совершенно очевидно, что Григорий работал долго и основательно над этой проблемой, поэтому на данном этапе сложно выявить в его расчетах какие-либо ошибки.

Виктор Гиемин, профессор этого же научного центра:

- Решение проблемы, которое демонстрирует на своих семинарах Перельман, просто потрясающее, оно выглядит очень убедительно и ясно. Я думаю, что Перельман находится на сегодняшний день ближе всех математиков к решению проблемы Пуанкаре.

Тем временем визит Перельмана в США подходит к концу. В начале мая он возвращается в Санкт-Петербург. Что дальше?

Российский математик уже разместил вариант своей статьи по проблеме Пуанкаре в архиве предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории, что, кстати, является формальной заявкой на публикацию в любом авторитетном математическом издании (им может быть, например, Advances in Mathematics). После публикации два последующих года отводятся на обсуждение обнародованных результатов математическим сообществом. В случае положительной реакции авторитетные ученые, специально назначенные Институтом Клэя для окончательной экспертизы предложенного решения, вынесут свой вердикт. Если и он будет положительным, ученый совет института создаст комиссию, в которую войдут по меньшей мере один представитель от ученого совета и два эксперта со стороны. Комиссия должна подготовить отчет, на основании которого совет составит рекомендации для директоров института. И только после этого может последовать рекомендация представить кандидата к награждению. Так что путь весьма тернист.

"Он заслужилэту победу"

Коллега Перельмана по Математическому институту им. В. А. Стеклова доктор физико-математических наук Анатолий Вершик надеется, что конечный результат работы Перельмана может внести новые сведения в теорию динамических систем.

Академик РАН Анатолий Фоменко, завкафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ, доктор физико-математических наук, считает, что решение проблемы Пуанкаре приведет к более глубокому пониманию физико-математических процессов, компьютерной топологии, распознавания образов: "По своей значимости это открытие вполне может претендовать на Нобелевскую премию".

Академик Ильдар Ибрагимов пока крайне осторожен в своих оценках: "Математики - народ неторопливый, а потому пока рано говорить о победе Григория и каком-то конечном результате. Мы все в институте, как говорится, держим за Григория Яковлевича кулаки. Он много работал и заслужил эту победу. Но я бы не спешил с выводами, так как не раз уже появлялись публикации о решении одной из семи так называемых миллионных проблем, но при проверке результат оказывался ошибочным - такое часто бывает в математике. Пока мы можем лишь пожелать удачи Григорию Яковлевичу и ждать решения о признании или непризнании его победы. Перельману предстоит еще доказать всей мировой математике, что одна из семи нерешаемых задач все-таки решена".

Дмитрий Серков, Степан Кривошеев

ЗАДАЧНИК

Семь проблем тысячелетия

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 г.)

Допустим, находясь в большой компании, вы хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то вам достаточно доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема является одной из нерешенных проблем логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 г.)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и т. д. Такие числа называются простыми числами, и они играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман сделал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 г.)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером алгебраического уравнения является уравнение x2 + y2 = z2. Евклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений получение решения становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 г.)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 г.)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 г.)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики до сих пор ищут ответ.

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 г.)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

СОПЕРНИЧЕСТВО

Параллельным курсом

У Григория Перельмана есть конкурент в научной гонке за миллионом долларов. Это профессор Саутгемптонского университета Мартин Данвуди. Ровно год назад, в апреле 2002 года, он предложил свой способ решения гипотезы Пуанкаре. Он решил сфокусировать внимание на специфических свойствах трехмерных пространств и доказать, что гипотеза Пуанкаре верна для трехмерных поверхностей. В настоящее время работа Данвуди тщательнейшим образом изучается научным сообществом. "Итоги" связались с британским математиком.

- Мистер Данвуди, вы слышали о работе российского математика Григория Перельмана?

- Я ознакомился с его предварительной работой, размещенной в архиве Лос-Аламосской научной лаборатории. Пока могу сказать, что на первый взгляд все это выглядит крайне интересно и убедительно. Однако не берусь утверждать, что расчеты российского математика безошибочны.

- А как вы относитесь к собственным расчетам?

- Я считаю, что предложил некоторый путь решения проблемы Пуанкаре. Пока он не опровергнут.

- Как вы отреагировали на появление соперника?

- Это нормальное здоровое соперничество, которое в любом случае только пойдет на пользу математике, да и всей науке в целом, а чьи доводы окажутся убедительнее или неубедительнее, судить нашим потенциальным оппонентам.

Дмитрий Серков

Добавить в:  Memori  |  BobrDobr  |  Mister Wong  |  MoeMesto  |  Del.Icio.Us  |  Google Bookmarks  |  News2.ru  |  NewsLand.ru

Политика и экономика

Что почем
Те, которые...

Общество и наука

Телеграф
Культурно выражаясь
Междометия
Спецпроект

Дело

Бизнес-климат
Загранштучки

Автомобили

Новости
Честно говоря

Искусство и культура

Спорт

Парадокс

Анекдоты читателей

Анекдоты читателей
Яндекс цитирования NOMOBILE.RU Семь Дней НТВ+ НТВ НТВ-Кино City-FM

Copyright © Журнал "Итоги"
Эл. почта: itogi@7days.ru

Редакция не имеет возможности вступать в переписку, а также рецензировать и возвращать не заказанные ею рукописи и иллюстрации. Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов. При перепечатке материалов и использовании их в любой форме, в том числе и в электронных СМИ, а также в Интернете, ссылка на "Итоги" обязательна.

Согласно ФЗ от 29.12.2010 №436-ФЗ сайт ITOGI.RU относится к категории информационной продукции для детей, достигших возраста шестнадцати лет.

Партнер Рамблера